makalah KPK(teori bilangan)

TUGAS MANDIRI
TEORI BILANGAN
KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL
(KPK)

Disusun Oleh:

Nama : Arifin Norma Hidayah
NPM : 09311526
Prodi : Pendidikan Matematika/C
Semester : IV

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
2011
KATA PENGANTAR

AssalamualaikumWr.Wb
Dengan mengucap syukur alhamdulilah berkat rahmat Allah SWT, Penyusun dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini disusunun untuk memenuhi tugas pembuatan makalah dalam mata kuliah Teori Bilangan.
Dalam penyusunan makalah ini, tidak sedikit hambatan yang penyusun hadapi, namun dengan semangat penyusun dan dibantu semua pihak akhirnya penyusunan makalah ini terselesaikan.
Dalam kesempatan ini saya sebagai penyusun menyampaikan rasa terimakasih kepada dosen yang membantu mengarahkan dan memberi batasan penyusunan materi makalah, serta terimakasih pula kepada rekan-rekan mahasiswa/i jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Metro.
Penyusun sangat menyadari bahwa penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna, sehingga kritik dan sarannya yang membangun sangat penyusun harapkan agar dapat berbuat lebih baik lagi dimasa yang akan datang.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penyusun khususnya, dan dapat memberikan manfaat bagi pembaca pada umumnya.

Metro, 18 Mei 2011

Arifin norma hidayah
NPM: 09311526

BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendidikan hendaknya mampu membentuk cara berfikir dan berperilaku anak yang positif. Tatanan berfikir yang ingin dibentuk adalah kemampuan berfikir logis, kritis dan sistematis. Sehingga dari kemampuan berpikir ini akan mengarahkan setiap orang khususnya siswa berprilaku positif, terarah dan efektif.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berfikir setiap orang. Oleh karena itu, kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah tumbuh sejak usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika, sehingga seorang pendidik hendaknya mampu menciptakan “Fun Learning” di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat tercipta apabila seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika menggunakan metode dan teknik-teknik yang bervariatif sehingga tidak monoton dan membosankan bagi anak didik.
Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan. Pemahaman yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) yang merupakan materi yang diajarkan dari tingkat SD sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami konsep matematika SMA.

B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, rumusan masalah pada makalah ini adalah :
Apa definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ?
Bagaimana metode untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan makalah ini adalah :
Untuk mengetahui definisi dari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).
Untuk mengetahui metode untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).

Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penyusunan makalah ini adalah studi kepustakaan dan browsing internet yaitu mencari informasi melalui situs-situs internet.

E. Sistematika Penulisan
Makalah ini terdiri dari tiga BAB. Pada BAB I akan diuraikan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan dan sistematika penilisan. BAB II akan diuraikan tentang isi yaitu meliputi definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK), metode untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK), Pada BAB III akan diuraikan tentang simpulan.







BAB II
PEMBAHASAN
Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Sebelum membahas tentang pengertian kelipatan persekutuan terkecil, terlebih dahulu sebaiknya memahami definisi kelipatan suatu bilangan. kelipatan suatu bilangan adalah himpunan-himpunan bilangan asli yang habis oleh bilangan tersebut.
Misalnya himpunan 2 adalah {2, 4, 6, 8, 10} himpunan kelipatan dari 4 adalah {4, 8, 12, 16,……}. Sedangkan pengertian kelipatan persekutuan adalah himpunan irisan dari himpunan-himpunan kelipatan. Misalnya dari himpunan kelipatan persekutuan 2 dan 4 adalah {4, 8, 12,……} dari himpunan itu anggota terkecilnya adalah 4, maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK adalah anggota terkecil dari anggota himpunan kelipatan persekutuan).
Jadi, pengertian Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah hasil perkalian dari sebuah faktor-faktor (prima) yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi.
Metode untuk Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Metode Irisan Himpunan (Cara Sederhana)
Di dalam metode irisan himpunan, pertama kita tentukan himpunan kelipatan-kelipatan positif dari bilangan pertama dan bilangan kedua. Kemudian kita tentukan himpunan persekutuan kelipatan dari bilangan-bilangan itu dan akhirnya kita pilih bilangan terkecil dari himpunan itu. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p,q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.


Contoh 1:
Tentukan KPK dari 40, 60, dan 80.
Jawab:
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40, 50 dan 60 berturut-turut adalah K40, K60, dan K80.
K40 = 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480,…
K60 = 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480,…
K80 = 80, 160, 240, 320, 400, 480,…
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah:
K8 = K12 = 240, 480,…
Karena bilangan terkecil dari K40 C K60 C K80 adalah 240, KPK dari 40, 60 dan 80 adalah 240 dan ditulis
KPK (40, 60, 80) = 240
Contoh 2:
Tentukan KPK dari 6 dan 10 !
Jawab:
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut adalah K6 dan K10.
K6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ....
K10 = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ....
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah:
K6 = K10 = 30



Contoh 3 :
Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab :
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut adalah K8 dan K12.
K8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 ………
K12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 ……
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah :
K8 = K12 = 24, 48
Karena bilangan terkecil dari K8 C K12 adalah 24, KPK dari 8 dan 12 adalah 24, ditulis KPK (8,12) = 24.
Contoh 4:
Tentukan KPK dari 3, 4, dan 6 ( KPK dengan tiga angka )
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 … ( dan seterusnya.. )
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 … ( dan seterusnya.. )
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30 … ( dan seterusnya.. )
Lihat kelipatan yang ketiga-tiganya sama angka 12 dan 24 ( tiga-tiganya punya kelipatan yang nilainya 12 dan 24)
Pilih yang paling kecil adalah 12
Maka, KPK dari 3, 4 dan 6 = 12
Contoh 5:
Tentukan KPK dari 7 dan 10 !
Kelipatan 10 = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 160, 170, 180, 190, 200, 210, …
Kelipatan 7 = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, …
Kelipatan bersama dari 10 dan 7 adalah : 70, 140, …
Kelipatan bersama yang paling kecil dari 10 dan 7 adalah : 70.
Jadi KPKnya adalah 70
Metode Faktorisasi Prima
Metode irisan himpunan untuk menentukan KPK sering kali terlalu panjang, khususnya ketika digunakan untuk menentukan KPK dari tiga atau lebih bilangan-bilangan asli. Metode lain yang mungkin lebih efisien untuk menentukan KPK dari beberapa bilangan adalah metode faktorisasi prima. Jadi, KPK diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.
Contoh 1 :
Tentukan KPK (40, 60, 80)
Jawab :
Faktorisasi prima dari 40, 60 dan 80, yaitu :

40 60 80

2 20 2 30 2 40

2 10 2 15 2 20

2 5 3 5 2 10

40 = 23×5 60 = 22×3×5 2 5

80 = 24×5

Pangkat terbesar adalah 24 , 3 dan 5
Jadi KPK dari 40, 60, 80 adalah 24 ×3×5 = 240





Contoh 2 :
Tentukan KPK dari 6 dan 10 !
Jawab:
6 10

2 3 2 5
6 = 2×3 10 = 2×5

Pangkat terbesar adalah 2 , 3 dan 5
Jadi KPK dari 6 dan 10 adalah 2 ×3×5 = 30
Contoh 3 :
Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab:
8 12
2 4 2 6

2 2 2 3
8 = 23 12 = 22×3

Pangkat terbesar adalah 23 dan 3
Jadi KPK dari 8 dan 12 adalah 23 ×3 = 24

Metode Pembagian dengan Bilangan Prima
Metode lain untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan asli adalah menggunakan pembagian dengan bilangan prima. Metode ini mulai dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi paling sedikit satu dari bilangan yang diberikan, kemudian proses pembagian ini dilanjutkan sampai baris dimana jawabannya berisi bilangan-bilangan 1.

Contoh 1:
40 60 80 2 Catatan:
20 30 40 2 Angka 2, 3, 5 merupakan bilangan pembagi (Bil.Prima)
10 15 20 2
5 15 10 2 Angka 15 tidak bisa dibagi 2, maka harus turun
5 15 5 3 Angka 5 tidak bisa dibagi 3, maka harus turun
5 5 5 5
1 1 1
Jadi KPK dari 40, 60, dan 80 adalah 24 ×3×5=240
Contoh 2:
Tentukan KPK dari 7 dan 10 !
Jawab:
7 10 2
7 5 5
7 1 7
1 1
Jadi KPK dari 7 dan 10 adalah 2 ×5×7=70



Contoh 3:
Tentukan KPK dari 15 dan 20 !
Jawab:
15 20 2
15 10 2
15 5 3
5 5 5
1 1
Jadi KPK dari 15 dan 20 adalah 22 ×3×3=60
Algoritma Euglide
Ada suatu konsep yang paralel dengan konsep faktor persekutuan terbesar (FPB), yang dikenal faktor persekutuan terkecil (KPK). Suatu bilangan bulat c disebut kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan bulat tak nol a dan b jika a c dan b c. Hal ini berarti pula nol adalah kelipatan persekutuan dari a dan b. Perlu diingat pula bahwa ab dan –(ab) adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, dan salah satunya positif. Dengan menggunakan prinsip terurut sempurna (well ordering principle), himpunan kelipatan persekutuan dari a dan b harus sebuah bilangan bulat terkecil; kita menyebutnya kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b, dan ditulis KPK(a, b).
Definisi
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat tak nol a dan b, dilambangkan [a, b], adalah bilangan positif m yang memenuhi:
a | m dan b | m.
Jika a | c dan b | c dengan c > 0 maka m ≤ c.

Sebagai ilustrasi, kelipatan persekutuan positif dari –12 dan 30 adalah 60, 120, 180, … .
Dengan demikian, KPK(-12, 30) = 60.
Dari konsep diatas, kita dapat secara jelas menyatakan bahwa jika diberikan dua bilangan tak nol a dan b maka [a, b] selalu ada, dan [a, b] ≤ ab . Selanjutnya, bagaimana hubungan antara KPK dan FPB? Berikut ini sifat yang menjelaskan hubungan antara keduanya.
Sifat 1
Untuk bilangan-bilangan bulat positif a dan b, berlaku
(a, b). [a, b] = ab
Bukti:
Misalkan d = (a, b) dan kita tulis a = dr, b = ds untuk bilangan-bilangan bulat r dan s. Jika m = ab/d maka m = as = rb. Akibatnya adalah m (positif) adalah suatu kelipatan persekutuan a dan b.
Sekarang misalkan c adalah sebarang bilangan bulat positif yang merupakan kelipatan persekutuan a dan b. c = au = bv. Sebagaimana kita ketahui, ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang memenuhi d = ax + by. Konsekuensinya,
c/m = cd/ab = (c(ax + by))/ab = (c/b)x + (c/a)y = vx + uy

Persamaan ini menyatakan bahwa m | c, dan kita dapat menyimpulkan bahwa m≤c.
Dengan demikian, m = [a, b]; Hal ini berarti bahwa
[a,b]=ab/d=ab/((a,b))

Sifat 2
Untuk suatu bilangan-bilangan bulat positif a an b, [a, b]= ab jika dan hanya jika (a, b) = 1.
Sifat 2 ini hanya merupakan akibat langsung dari sifat 1.
Sebagai ilustrasi, Karena FPB(3054, 12378) = 6, kita dapat dengan cepat memperoleh KPK(3054, 12378), yaitu:
KPK (3053, 12378) = 3053.12378 / FPB(3054, 12378)
= 3053.12378 / 6
= 6300402.
Perlu diketahui pula bahwa faktor persekutuan terbesar dapat diperluas untuk lebih dari dua bilangan bulat. Dalam kasus tiga buah bilangan bulat, a, b, c tak nol, FPB(a, b, c) didefinisikan sebagai suatu bilangan bulat positif d yang memenuhi:
d adalah faktor dari setiap a, b, c.
Jika e faktor dari a, b, c, maka e ≤d.
Contoh:
Tentukan KPK dari 12 dan 18
Jawab:
[a,b]=ab/((ab))
(12,18) b=18,a=12 q=1,r=6
b=qa+r
18=12.1+6
12=2.6
FPB = 6
[12,18]=12.18/6
=36
Jadi KPK dari 12 dan 18 adalah 36
Tentukan KPK dari 12 dan 15
Jawab:
[a,b]=ab/((ab))
(12,15) b=15,a=12,q=1,r=3
b=qa+r
15=1.12+3
12=4.3
FPB = 3
[12,15]=12.15/3
=60
Jadi KPK dari 12 dan 15 adalah 60
BAB III
PENUTUP

Kesimpulan

kelipatan suatu bilangan adalah himpunan-himpunan bilangan asli yang habis oleh bilangan tersebut. Sedangkan Kelipatan Persekutuan Terkecil adalah hasil perkalian dari dua buah faktor-faktor (prima) yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi. Terdapat empat metode untuk menentukan KPK, yaitu :
Metode irisan himpunan,
Metode faktorisasi prima,
Metode pembagian dengan bilangan prima dan,
Metode Algoritma Euglide,

















DAFTAR PUSTAKA
http://qade.wordpress.com/2009/02/11/kelipatan-persekutuan-terkecil.html
Soenarjo R.J. 2007. Matematika IV. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional