aljabar elementer(fungsi pecah)

TUGAS KELOMPOK
ALJABAR ELEMENTER
“ Fungsi pecah”

Oleh :
KELOMPOK 3


PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA


FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
2011


KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, taufik, dan hidayah - Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah kelompok Aljabar Elementer “Fungsi Pecah “ tepat pada waktunya.
Penyusunan makalah ini tidak dapat terlaksana tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak, untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Maksum selaku dosen mata kuliah Aljabar Elementer.
2. Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penyusun dalam menyelesaikan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini jauh dari kesempurnaan, oleh sebab itu kritik dan saran dari pembaca sangat diharapkan demi kesempurnaan makalah ini. Semoga makalah yang kami susun ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya dunia pendidikan.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL i
KATA PENGANTAR ii
DAFTAR ISI iii
BAB I PENDAHULUAN 1
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Fungsi Pecah Linier 3
2.2 Fungsi pecah dengan bentuk 5
2.3 Fungsi pecah dengan bentuk 8
BAB III PENUTUP
3.1 Simpulan 12

DAFTAR PUSTAKA


BAB I
PENDAHULUAN



Materi fungsi pecah grafik yang terdiri dari fungsi pecah linier, fungsi pecah dengan bentuk dan fungsi pecah kuadrat. Materi fungsi pecah grafik ini merupakan perluasan dan pendalaman dari materi persamaan kuadrat, fungsi kuadrat, grafik dan merupakan dasar dari konsep – konsep lainnya dalam ilmu aljabar.

Adapun sasaran kita mempelajari fungsi pecah tersebut adalah:
Mahasiswa diharapkan mengkonstruksikan grafik fungsi pecah linier fungsi berbentuk , dan fungsi pecah kuadrat serta menerapkan untuk menentukan asimtut bentuk aljabar tertentu, mahasiswa dapat menemukan fungsi pecah linier dengan menggunakan syarat menyinggung, titik yang memenuhi dan asimtut yang diberikan, mahasiswa dapat menggambar grafik dari setiap fungsi pecah linier yang diberikan, mahasiswa dapat membuktikan bahwa untuk setiap nilai m yang diberikan, fungsi , grafiknya melalui dua titik tetap,mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi , untuk setiap a,b,c,p,q di R, mahasiswa dapat menyusun fungsi berbentuk , dengan menggunakan syarat menyinggung titik pada grafik, asimtut, ekstrim, dan daerah fungsi yang diberikan,mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi pecah kuadrat untuk setiap yang diberikan, mahasiswa dapat menyusun fungsi pecah kuadrat dengan menggunakan syarat: asimtut, titik yang memenuhi, ekstrim dan daerah fungsi yang diberikan, mahasiswa dapat menemukan persamaan asimtut dari kurva: dengan a,b,c,p,q di R, mahasiswa dapat menentukan persamaan asimtut dari kurva : dengan dan a,b,c di R.


BAB II
PEMBAHASAN
FUNGSI PECAH

2.1 Fungsi Pecah Linier
Pemetaan dari R ke R yang dirumuskan dengan:

Dimana disebut fungsi pecahan linier. Untuk melukiskan grafik tersebut perlu diperhatikan beberapa hal:
Gambar grafik
a. Titik potong dengan sumbu x

b. Titik potong dengan sumbu y

c. Asimtut mendatar

d. Asimtut tegak

e. Titik bantu

Contoh
1. Gambarlah grafik !

Penyelesaian
• Titik potong dengan sumbu
• Titik potong dengan sumbu
• Asimtut mendatar
• Asimtut tegak
• Titik bantu
Ambil
Ambil
• Gambar grafik
Y x=3

(4, 5)


(6,3)
1 y=2

3/2 x


2. Gambarlah grafik !
Penyelesaian
• Titik potong dengan sumbu
• Titik potong dengan sumbu
• Asimtut mendatar
• Asimtut tegak

• Titik bantu
X - 6 2 8
F(x) 1 9 3
Titik (-6, 1) (2, 9) ( 8, 3 )

• Gambar grafik
Y x=1

(2,9)


(8,3 y=2

(-6,1) (- ,0) x


(0,-5)


2.2 Fungsi pecah dengan bentuk
dan px+q bukan faktor dari . Untuk menggambar grafik fungsi ini perlu diperhatikan:
1. Titik potong dengan sumbu x
Titik ini mempunyai ordinat y = 0. Jadi bentuk persamaannya menjadi . Tergantung dari diskriminan , apakah ada 2, 1 atau 0 titik potong.
Jika D<0 maka f(x) tidak mempunyai nilai nol; Jika D=0 maka f(x) mempunyai 1 nilai nol; Jika D>0 maka f(x) mempunyai 2 nilai nol.

2. Titik potong dengan sumbu y
Titik ini mempunyai basis x = 0. Jadi y =c/q dan kordinat titik potong ( 0, c/q ).
3. Asimtut Tegak
Diperoleh dari . Jadi maka ,hingga asimtut tegaknya adalah garis x = -q/p.
4. Asimtut mendatar tidak ada
Sebab kalau yaitu garis miring dan disebut asimtut miring. Asimtut miring diperoleh dari hasil bagi ruas kanan.
5. Harga ekstrim
Harga ekstrim fungsi ini (kalau ada) dapat dicari dengan cara seperti mencari harga ekstrim ekstrim .
Cara lain untuk mencari harga ekstrim fungsi ini adalah sebagai berikut:
Garis sejajar sumbu x, yaitu y = m dipotong dengan grafik



Titik potong garis tersebut ada kalau D>0

Namakan dan
Menjadi:
Kalau , maka II terurai menjadi

+ + + + + - - - - - - - + + + + + +
/ / / / / / / / / / / / /

Jadi dan . Maka adalah maksimum relatif dan adalah minimum relatif. Harga x yang bersangkutan didapat dari persamaan I yaitu:
dan
Kalau , maka persamaan II suaatu kuadrat lengkap, sehingga persamaan I mempunyai diskriminan kuadrat lengkap dan seterusnya fungsi pecah dapat disederhanakan menjadi fungsi linier.
Kalau , maka II definit positif yang berarti deskriminan dari I selalu ada harga x untuk m berapapun. Dengan kata lain fungsi tersebut mempunyai harga ekstrim.
Contoh soal
Lukiskan grafik fungsi
Penyelesaian

• Titik potong dengan sumbu
• Titik potong dengan sumbu
• Asimtut tegak
• Asimtut miring:
Berarti asimtut miringnya: y = x +1
• Harga ekstrim:

Jadi grafik fungsi tidak memiliki harga ekstrim.
• Gambar Grafik

y x=1 y=x+1
(0,4)




(-20) (2,0) x


2.3 Fungsi pecah dengan bentuk
Seperti fungsi pecahan yang terdahulunya, pada fungsi ini kita pelajari hal – hal sebagai berikut:
1. Titik potong dengan sumbu – sumbu.
a. Titik potong dengan sumbu x.
Diperoleh dengan subtitusi y = 0, didapat hasilnya . Tergantung pada , apakah ada 2, 1 atau o titik potong.
b. Titik potong dengan sumbu y.
Diperoleh dengan subtitusi x = 0. Maka y = c/r. Jadi koordinat titik potong ( 0,c/r ).
2. Asimtut – asimtut
a. Asimtut mendatar
Kalau b maka . Jadi adalah persamaan asimtut mendatar.
b. Asimtut tegak
Kalau , maka . Maka asimtut tegak didapat dari
ada 2 asimtut tegak
ada 1 asimtut tegak
tidak ada 1 asimtut tegak.
c. Titik potong grafik dengan asimtut mendatar.
, maka . Jadi umumnya ada satu titk potong antara grafik dan asimtut mendatar, kecuali bp = aq.
3. Harga – harga ekstrim
Untuk mencari harga – harga ekstrim kita periksa kedudukan garis y = m ( garis sejajar sumbu x) dengan grafik fungsi itu.

Ada titik potong D > 0

Singkatnya ditulis:

a. Kalau , maka tidak ada ekstrim.
b. Kalau , maka pecahan dapat dimudahkan menjadi fungsi linier.
c. Kalau , maka harga ekstrim perlu diselidiki lebih lanjut.
• Kalau A >0, ruas kiri II terurai sebagai berikut:


+ + + + + - - - - - - - + + + + + +
/ / / / / / / / / / / / /
adalah maksimum relatif.
adalah minimun relatif.
Harga x yang bersangkutan didapat dari persamaan I, yaitu:
• Kalau A < 0, ruas kiri II terurai sebagai berikut: + + + + + - - - - - - - + + + + + + / / / / / adalah minimum mutlak. adalah maksimum mutlak. Grafik itu diantara dan . • Kalau A = 0, II menjadi Bm + C > 0
Dibedakan lagi:
Kalau B > 0, maka y = m = -C/B adalah minimum.
Kalau B < 0, maka y = n = - - C/B adalah minimum 4. Daerah grafik Ialah daerah mana harga – harga x yang akan menunjukan y > 0 atau y < 0.
Contoh:
Lukislah grafik fungsi dari
Peyelesaian
• Titik potong dengan sumbu
• Titik potong dengan sumbu
• Asimtut mendatar
• Asimtut tegak
• Harga ekstrim y = m
Jadi di peroleh titik balik maksimum (2,0) sedangkan titik balik minimum
(-2.8/9)
• Titik potong dengan asimtut mendatar

Jadi asimtut mendatar y = 1 dititik (0, 1)
• Titik bantu
X 3 5 6
F(x) - 1 / 2 2 1 / 4 1 3 / 4
Titik (3, - 1 / 2) (5, 2 1 / 4) (6, 1 3 / 4)

• Gambar Grafik

y x=1 x=4
(0,4)




(-2,8/9) (2,0) x




BAB III
PENUTUP

Simpulan
Suatu pemetaan dari R ke R yang dirumuskan dengan:

Dimana . Suatu fungsi pecah adalah suatu fungsi jika digambar, maka koordinat kartesiusnya merupakan gambar yang simetris, dan akan terdapat grafik yang simetris terhadap titik tertentu. Cara termudah untuk mengetahui suatu fungsi tersebut adalah suatu fungsi pecahan adalah:
a. Bentuk dari pada fungsi tersebut dapat dilihat yaitu berbentuk pecahan.
b. Suatu fungsi dimana penyebutnya memuat variabel x.
Bentuk – bentuk fungsi pecah yaitu:
, ,


DAFTAR PUSTAKA

Maksum.2002.Aljabar.Universitas Lampung: Bandar Lampung
Anonimus.2008.Fungsi Pecah.Senin,21 Maret 2011.10.12 WIB.http://fungsi_pecah.wikipedia/html/